Transformada de Fourier

Donde:
• x[n] → señal en el tiempo
• X[k] → espectro en frecuencia
• N → número de muestras
• k = 0, 1, …, N-1
• j → unidad imaginaria (√-1)

📐 Ejemplo: x[n] = [1, 0, -1, 0], N = 4

1X[0] = 1 + 0 - 1 + 0 = 0

2X[1] = 1·(1) + 0·(-j) + (-1)·(-1) + 0·(j) = 2

3X[2] = 1·(1) + 0·(-1) + (-1)·(1) + 0·(-1) = 0

4X[3] = 1·(1) + 0·(j) + (-1)·(-1) + 0·(-j) = 2

Resultado: X[k] = [0, 2, 0, 2]

⚡ 2. Transformada Rápida de Fourier (FFT)

¿Qué es la FFT?

Algoritmo eficiente (Cooley-Tukey, 1965) que reduce las operaciones de O(N²) a O(N·log N).

💡 Requisito: N debe ser potencia de 2 (256, 512, 1024...)

Comparación de Complejidad

Métrica	DFT	FFT
Complejidad	O(N²)	O(N·log₂N)
N = 1024	1,048,576 ops	10,240 ops
N = 4096	16,777,216 ops	49,152 ops

🚀 Ejemplo FFT Radix-2: x[n] = [1, 2, 3, 4]

1Pares: [1, 3] → DFT=[4,-2] | Impares: [2, 4] → DFT=[6,-2]

2W₄=1, W₄¹=-j

3X[0]=10, X[1]=-2+2j, X[2]=-2, X[3]=-2-2j

📡 3. Teorema de Nyquist

f_s ≥ 2 · f_max

✓ Adecuado

Audio CD: f_s=44.1 kHz > 40 kHz ✓

⚠ Insuficiente

f_s=150 Hz < 200 Hz → ¡Aliasing!

⚠️ 4. Fenómeno de Aliasing

¿Qué es?

Cuando f_s < 2·f_max, aparecen frecuencias falsas.

️ Demo Interactiva de Aliasing

Frecuencia señal: 5 Hz

Frecuencia muestreo: 12 Hz

4.5 Leakage (Fugas Espectrales)

¿Qué es el Leakage?

El leakage o fuga espectral es la dispersión de energía de una frecuencia hacia los bins adyacentes en el espectro de la FFT.

Cuando la frecuencia de la señal no es un múltiplo exacto de la resolución en frecuencia (Δf = f_s/N), la energía se "derrama" hacia las frecuencias vecinas, creando lóbulos laterales espurios.

🔎 Causa: La DFT asume que la señal se repite periódicamente. Si al final del registro la señal no coincide con el inicio, se produce una discontinuidad que genera frecuencias espurias.

🧪 Demostración de Leakage

Mové la frecuencia para ver qué pasa cuando NO es múltiplo exacto de Δf = 62.5 Hz

Frecuencia: 125 Hz fs=1000Hz, N=16 → Δf=62.5 Hz

Señal en el Tiempo (N=16)

📈 Espectro FFT

Bin calculado: k = f/Δf = 2.00

¿Múltiplo exacto? ✓ Sí - Sin leakage

💡 Ejemplos

1Sin leakage: f=125 Hz → k=2.0 (exacto) ✓

2Con leakage: f=100 Hz → k=1.6 (no exacto) ✗

3Con leakage: f=130 Hz → k=2.08 (no exacto) ✗

✅ Solución: Usar ventanas de muestreo (Hann, Hamming, Blackman, Flat Top) que suavizan los extremos.

🪟 4.6 Ventanas de Muestreo

¿Por qué usar ventanas?

Las ventanas multiplican la señal por una función que vale 1 en el centro y tiende a 0 en los extremos, eliminando la discontinuidad que causa el leakage.

Compromiso: Reducen los lóbulos laterales (leakage) pero ensanchan el lóbulo principal (menor resolución en frecuencia).

🧪 Laboratorio: Ventanas y Leakage

Elegí una ventana y mové la frecuencia para ver cómo cambia el espectro

Tipo de Ventana

Frecuencia: 125 Hz

⏱ Dominio del Tiempo (N=64)

📈 Espectro en dB

📋 Diferentes Ventanas para Diferentes Aplicaciones

Contenido de la Señal / Aplicación	Ventana Recomendada
ADC caracterización	Blackman-Harris
Onda sinusoidal o combinación de ondas	Hann
Onda sinusoidal (precisión de amplitud importante)	Flat Top
Señal aleatoria de banda estrecha (vibración)	Hann
Banda ancha aleatoria (ruido blanco)	Uniform (Rectangular)
Ondas sinusoidales estrechamente espaciadas	Uniform, Hamming
Señales de excitación (golpe de martillo)	Force
Señales de respuesta	Exponential
Contenido desconocido	Hann (por defecto)
Dos tonos: frecuencias cercanas, amplitudes muy diferentes	Kaiser-Bessel
Dos tonos: frecuencias cercanas, amplitudes casi iguales	Uniform
Mediciones precisas de amplitud de un solo tono	Flat Top

📊 Características

Rectangular: Mejor resolución, peor leakage
Hann: Compromiso balanceado
Hamming: Menor leakage que Hann
Blackman: Muy buen rechazo de leakage
Flat Top: Máxima precisión en amplitud

📐 Parámetros Clave

Ancho lóbulo principal: Resolución en frecuencia
Altura lóbulos laterales: Nivel de leakage
Tasa de caída: Rapidez de atenuación

5. Aplicaciones en Instrumentación

📈

Analizador de Espectro

Identificación de frecuencias

🎵

Audio

Ecualización, filtrado

🏭

Vibraciones

Diagnóstico de fallas

🫀

Biomédicas

ECG, EEG, EMG

📡

Telecom

OFDM, WiFi, 5G

🔬

Virtual

Osciloscopios digitales

6. Resumen y Fórmulas

DFT

✓ Tiempo → Frecuencia
✓ O(N²)
✗ Lenta

FFT

✓ Rápida
✓ O(N·log N)
✓ N potencia de 2

Nyquist

✓ f_s ≥ 2·f_max
✗ Submuestreo = Aliasing

Leakage

✓ f ≠ k·Δf → fuga
✓ Se reduce con ventanas

📊 Fórmulas Fundamentales

DFT: $X[k] = Σ x[n]\cdote -j2πkn/N$

Nyquist: $f s \geq 2\cdotf max$

Resolución: $Δf = f s / N$

Leakage: $Ocurre cuando f \neq k\cdotΔf$

🧪 7. Simulador FFT Interactivo

Simulador en tiempo real

Modificá f_s, N y f_in para ver el espectro y detectar aliasing.

f_s (Hz) 1000 Hz

N (muestras) 16

f_in (Hz) 125 Hz

📊 Parámetros

Δf = 0 Hz

Δt = 0 μs

f_Nyquist = 0 Hz

k_f = 0

¿Múltiplo exacto? -

¿Aliasing? -

🎯 Casos de prueba

1. Exacto: fs=1000, N=16, fin=125 → k=2 ✓

2. Aliasing: fs=1000, N=16, fin=875 → alias en 125

3. Leakage: fs=1000, N=16, fin=100 → k=1.6

4. Submuestreo: fs=200, N=16, fin=180 → alias en 20

DFT • FFT • Nyquist • Aliasing • Leakage • Ventanas

📑 Índice de Contenidos

🔷 1. Transformada Discreta de Fourier (DFT)

¿Qué es la DFT?

📐 Ejemplo: x[n] = [1, 0, -1, 0], N = 4

⚡ 2. Transformada Rápida de Fourier (FFT)

¿Qué es la FFT?

Comparación de Complejidad

🚀 Ejemplo FFT Radix-2: x[n] = [1, 2, 3, 4]

📡 3. Teorema de Nyquist

✓ Adecuado

⚠ Insuficiente

⚠️ 4. Fenómeno de Aliasing

¿Qué es?

️ Demo Interactiva de Aliasing

4.5 Leakage (Fugas Espectrales)

¿Qué es el Leakage?

🧪 Demostración de Leakage

Señal en el Tiempo (N=16)

📈 Espectro FFT

💡 Ejemplos

🪟 4.6 Ventanas de Muestreo

¿Por qué usar ventanas?

🧪 Laboratorio: Ventanas y Leakage

⏱ Dominio del Tiempo (N=64)

📈 Espectro en dB

📋 Diferentes Ventanas para Diferentes Aplicaciones

📊 Características

📐 Parámetros Clave

5. Aplicaciones en Instrumentación

Analizador de Espectro

Audio

Vibraciones

Biomédicas

Telecom

Virtual

6. Resumen y Fórmulas

DFT

FFT

Nyquist

Leakage

📊 Fórmulas Fundamentales

🧪 7. Simulador FFT Interactivo

Simulador en tiempo real

📊 Parámetros

🎯 Casos de prueba

📈 Espectro FFT

⏱ Señal en el Tiempo