1. Introducción a la Cuantización
En el proceso de Modulación por Pulsos Codificados (PCM), la cuantización es la etapa donde se mapea la amplitud continua de la señal muestreada a un conjunto finito de niveles discretos. Es el paso que introduce el error de cuantización (o ruido de cuantización), ya que es un proceso irreversible con pérdida de información.
Si la señal muestreada tiene una amplitud máxima $V_{max}$ y se utilizan $L$ niveles de cuantización, el paso de cuantización ($\Delta$) define la resolución del sistema.
2. Cuantización Uniforme
En la cuantización uniforme, el rango dinámico de la señal se divide en intervalos de tamaño constante ($\Delta$). Todos los niveles de decisión están equiespaciados.
Paso de cuantización:
Δ = Vmax / L = Vmax / 2n
donde n es el número de bits por muestra.
- Ventaja: Implementación hardware sencilla (ADC estándar, como el de Arduino).
- Desventaja: El error de cuantización es el mismo para señales fuertes y débiles. Esto degrada severamente la calidad de las señales de baja amplitud.
3. Ruido de Cuantización y SQNR
El error de cuantización ($e$) se modela como un ruido aditivo uniforme distribuido entre $-\Delta/2$ y $+\Delta/2$. La potencia de este ruido es:
Pruido = Δ² / 12
La métrica clave es la Relación Señal a Ruido de Cuantización (SQNR). Para una señal senoidal de amplitud máxima, la SQNR en decibeles depende directamente de la cantidad de bits:
SQNR ≈ 1.76 + 6.02 · n [dB]
Cada bit adicional mejora la SQNR en aproximadamente 6 dB.
4. Cuantización No Uniforme
Para solucionar el problema de las señales débiles, se utiliza la cuantización no uniforme. En este método, el paso de cuantización no es constante:
- Señales de baja amplitud: Se usan pasos pequeños ($\Delta$ chico) $\rightarrow$ menor error, mejor SQNR.
- Señales de alta amplitud: Se usan pasos grandes ($\Delta$ grande) $\rightarrow$ mayor error, pero la señal es fuerte y el ruido es menos perceptible.
Esto permite mantener una SQNR constante sobre un rango dinámico mucho más amplio, ideal para señales de voz humana.
5. Companding (Compresión + Expansión)
Implementar hardware de cuantización no uniforme es complejo. En la práctica, se simula mediante Companding:
- Compresión (Transmisor): La señal pasa por un compresor no lineal que amplifica las señales débiles y atenúa las fuertes.
- Cuantización Uniforme: La señal comprimida se cuantiza uniformemente (ADC estándar).
- Expansión (Receptor): Se aplica la función inversa para recuperar la forma de onda original.
Estándares Internacionales
Ley μ (mu-law)
Utilizada en Norteamérica y Japón (Sistemas T1 / DS1).
F(x) = sign(x) · ln(1 + μ|x|) / ln(1 + μ)
Valor estándar: μ = 255 (8 bits, 256 niveles).
Ley A (A-law)
Utilizada en Europa y el resto del mundo (Sistemas E1 / PCM-30).
F(x) = sign(x) · (1 + ln(A|x|)) / (1 + ln(A))
Valor estándar: A = 87.6 (8 bits, 256 niveles).
6. Comparación Resumen
| Característica | Cuantización Uniforme | Cuantización No Uniforme |
|---|---|---|
| Tamaño de paso ($\Delta$) | Constante | Variable (menor para amplitudes bajas) |
| Error en señales débiles | Alto (relativo a la señal) | Bajo (optimizado) |
| Rango dinámico efectivo | Limitado | Amplio (ideal para voz) |
| Implementación | Directa (ADC estándar) | Vía Companding (Ley $\mu$ o Ley A) |
| Aplicación típica | Audio Hi-Fi, instrumentación, video | Telefonía digital (PCM 8 bits) |