📡 Comunicaciones I

Universidad Nacional de la Patagonia San Juan Bosco (UNPSJB)
Teoría de la Información · Capacidad de Canal

📋 Enunciado

Una imagen de televisión Blanco y Negro puede considerarse compuesta por aproximadamente \(3 \cdot 10^5\) elementos de imagen. Suponer que cada elemento es equiprobable entre 10 niveles de brillantez distinguible y se transmiten a 30 cuadros por segundo.

Calcular el ancho de banda mínimo para transmitir la señal de video suponiendo que se necesita una S/N de 30 dB para una reproducción satisfactoria.

📊 Datos del problema

Elementos por imagen\(N = 3 \cdot 10^5\)
Niveles de brillo\(L = 10\)
Cuadros por segundo\(f_c = 30 \text{ Hz}\)
Relación S/N\(30 \text{ dB}\)

Resolución paso a paso

1

Información por elemento de imagen

Al ser 10 niveles equiprobables, la entropía de un píxel es:

\[ I_{det} = \log_2(10) \approx 3{,}32 \text{ bits} \]
2

Información por cuadro de imagen \(H(x)\)

Multiplicamos la información de un píxel por la cantidad total de elementos:

\[ H(x) = N \cdot I_{det} = 3 \cdot 10^5 \times 3{,}32 = 996.000 \text{ bits/cuadro} \]
3

Velocidad de información \(R\)

Caudal necesario para transmitir 30 cuadros por segundo:

\[ R = f_c \cdot H(x) = 30 \times 996.000 = 29{,}9 \cdot 10^6 \text{ bits/s} \]
4

Conversión de S/N de dB a valor lineal

\[ S/N_{dB} = 10 \log_{10}(S/N) \Rightarrow 30 = 10 \log_{10}(S/N) \] \[ S/N = 10^3 = 1000 \]
5

Cálculo del ancho de banda \(B\)

Aplicando el Teorema de Shannon-Hartley, con \(C = R\):

\[ C = B \cdot \log_2(1 + S/N) = R \] \[ B = \frac{R}{\log_2(1 + S/N)} = \frac{29{,}9 \cdot 10^6}{\log_2(1001)} \] \[ B = \frac{29{,}9 \cdot 10^6}{9{,}97} \]
✅ Ancho de banda mínimo: \(B \approx 3{,}02 \text{ MHz}\)

📋 Enunciado

Calcular el ancho de banda mínimo para transmitir una señal de video en color. Se considera una imagen compuesta por \(3 \cdot 10^5\) elementos. Cada elemento se forma por 3 componentes (RGB) con 16 niveles de brillo equiprobables cada uno. La transmisión es de 30 cuadros por segundo con una relación S/N de 30 dB.

📊 Datos del problema

Elementos por imagen\(N = 3 \cdot 10^5\)
Componentes de colorRGB (3 canales)
Niveles por canal\(L = 16\)
Cuadros por segundo\(f_c = 30 \text{ Hz}\)
Relación S/N\(30 \text{ dB}\)

🔢 Resolución paso a paso

1

Información por elemento (píxel a color)

Cada canal RGB tiene 16 niveles: \(\log_2(16) = 4\) bits. Con 3 canales:

\[ I_{det} = 3 \times \log_2(16) = 3 \times 4 = 12 \text{ bits/píxel} \]
2

Información por cuadro \(H(x)\)

\[ H(x) = N \cdot I_{det} = 3 \cdot 10^5 \times 12 = 3{,}6 \cdot 10^6 \text{ bits/cuadro} \]
3

Velocidad de información \(R\)

\[ R = f_c \cdot H(x) = 30 \times 3{,}6 \cdot 10^6 = 108 \cdot 10^6 \text{ bits/s} \]
4

Conversión de S/N

\[ S/N = 10^{30/10} = 10^3 = 1000 \]
5

Cálculo del ancho de banda \(B\)

\[ B = \frac{R}{\log_2(1 + S/N)} = \frac{108 \cdot 10^6}{\log_2(1001)} = \frac{108 \cdot 10^6}{9{,}97} \]
✅ Ancho de banda mínimo: \(B \approx 10{,}83 \text{ MHz}\)
📌 Conclusión: La TV en color requiere aproximadamente 3,6 veces más ancho de banda que la TV en Blanco y Negro bajo las mismas condiciones, debido a la mayor cantidad de información por píxel (12 bits vs 3,32 bits).

🧮 Calculadora interactiva

Ingresá los valores para calcular el ancho de banda mínimo según Shannon-Hartley.